正弦公式(高等数学二倍角余弦公式)

【考试要求】

1.理解并掌握推导两角差余弦公式的过程及其意义。

2.能够利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们之间的内在联系。

3.能够运用上述公式进行简单的恒等变换，包括推导出积化和差、和差化积、半角公式等。

【知识梳理】

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ

cos(α∓β) = cosαcosβ ± sinαsinβ

tan(α±β) = ...

（此处省略部分内容）

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式：

sin 2α = 2sinαcosα

cos 2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α

tan 2α = ...

（此处省略部分内容）

3.函数f(α) = asinα + bcosα，可以化为f(α) = sin(α+φ) 或 f(α) = ...

【微点提醒】

1.tan(α±β) = tan(α±β)(1 ± tanαtanβ)

【考点一】三角函数式的化简

1.三角函数式的化简应遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等。

2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等。

【考点二】三角函数式的求值

1.角度1：给定角值求值

2.角度2：给定值求角

【规律方法】

1.“给角求值”、“给值求角”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法。

2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角。遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围为(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好。

【考点三】三角恒等变换的简单应用

1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用。

2.把形如y = asin x + bcos x化为y = sin(x + φ)，可进一步研究函数的周期、单调*、最值与对称性。

【反思与感悟】

1.重视三角函数的“三变”：变角、变名、变式。

2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形。

【易错防范】

1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通。

2.在(0，π)范围内，sin α = 所对应的角α不是唯一的。

3.在三角求值时，往往要借助角的范围确定三角函数值的符号或所求角的三角函数的名称。

【核心素养提升】

【逻辑推理与数**算】——缩小角的范围常用策略

在运用平方关系和由三角函数值求角时都要注意角的范围。如果条件中角的范围恰好能够使用，那么就能顺势求解题目。但绝大部分题目都会设置一定的障碍，特别是角的范围，往往所给的范围较大，需要根据条件缩小范围。